L’optimisation non linéaire à grande échelle
Des équations pour tenir l’équilibre
Pour résoudre ces problèmes, François Pacaud s’appuie sur des méthodes issues de l’optimisation mathématique, en particulier les méthodes dites « de points intérieurs ». Leur principe est d’approcher progressivement la meilleure solution possible en effectuant une suite de calculs successifs. À chaque étape, l’algorithme doit résoudre de grands systèmes d’équations, appelés conditions de Karush–Kuhn–Tucker (KKT), qui traduisent mathématiquement l’ensemble des contraintes physiques et techniques du réseau.
Le principal obstacle n’est pas tant la formulation du problème que sa résolution numérique. Les systèmes KKT sont immenses, très majoritairement composés de zéros (on dit qu’ils sont « creux ») et souvent délicats à manipuler sur le plan numérique. Leur taille et leur structure rendent les calculs longs et gourmands en mémoire. Le passage à l’échelle, c’est-à-dire la capacité à traiter des réseaux entiers plutôt que des modèles simplifiés, constitue l’un des défis centraux du domaine.
Accélérer les calculs grâce aux GPU
Une avancée majeure des travaux récents de François Pacaud consiste à exploiter la puissance de calcul des processeurs graphiques (GPU), des architectures massivement parallèles, pour résoudre ces problèmes d’optimisation. Les GPUs fonctionnent différemment des processeurs classiques : ils sont notamment très bons pour effectuer des milliers de petits calculs en parallèle, plutôt que de les résoudre pas à pas sur un seul processeur. Les GPUs ont ainsi grandement contribué à la révolution de l’apprentissage profond dans les années 2010.
En collaboration avec des chercheurs du MIT et de Argonne National Laboratory, il a contribué au développement de nouvelles méthodes dites « en espace condensé », qui consistent à reformuler les systèmes d’équations KKT sous une forme mathématique mieux adaptée au calcul parallèle. Ces reformulations permettent d’utiliser des bibliothèques numériques spécialisées, capables de factoriser et résoudre efficacement de très grands systèmes creux sur GPU. Grâce à ces approches, il devient possible de résoudre en moins de vingt secondes des problèmes représentant l’ensemble d’un grand réseau électrique national, là où des heures de calcul étaient auparavant nécessaires.
Au-delà du gain de performance, ces résultats rendent envisageable une optimisation quasi en temps réel de réseaux de très grande taille, condition essentielle pour une gestion dynamique et sécurisée des infrastructures énergétiques.
Processeur graphique (GPU) GeForce 6600GT de Nvidia.
Un ensemble cohérent de travaux en optimisation
Ces recherches ne se limitent pas aux réseaux électriques. Elles portent plus largement sur l’optimisation non linéaire et stochastique à grande échelle, c’est-à-dire sur la recherche de la meilleure solution possible lorsque les relations mathématiques ne sont pas linéaires et que certaines données sont incertaines ou variables, par exemple à cause de la météo ou du comportement des usagers.
Pour cela, François Pacaud développe et améliore des solveurs, des logiciels capables de résoudre automatiquement de très grands problèmes mathématiques. Parmi eux, MadNLP et MadNCL sont des solveurs d’optimisation conçus pour gérer des milliers voire des millions de variables, de nombreuses contraintes physiques et des phénomènes d’incertitude. Ces outils trouvent des applications variées : réseaux énergétiques, traitement du signal ou encore robotique. L’enjeu n’est pas seulement de trouver une solution, mais qu’elle soit fiable, stable et calculable dans un temps raisonnable, ce qui dépassait jusque-là les capacités des algorithmes classiques.
Entre mathématiques théoriques et usages industriels
Formé en mathématiques appliquées, François Pacaud a travaillé comme ingénieur en optimisation dans l’industrie avant de poursuivre ses recherches dans de grands laboratoires internationaux. Aujourd’hui à Mines Paris – PSL, il développe des méthodes de mathématiques computationnelles avancées tout en s’inscrivant dans des collaborations avec des acteurs du secteur de l’énergie. Un parcours qui reflète l’articulation entre théorie et pratique chère à l’École, dans une logique de double impact science et industrie. Les mathématiques deviennent ainsi des outils d’aide à la décision, capables de transformer de vastes ensembles de données et de contraintes physiques en stratégies concrètes de pilotage des infrastructures.
Les mathématiques jouent un rôle central dans les infrastructures énergétiques modernes. Optimiser un réseau électrique, ce n’est pas seulement résoudre une équation : c’est garantir la stabilité d’un système vital, accompagner l’intégration des énergies renouvelables et sécuriser l’approvisionnement en électricité. En cette Journée internationale des mathématiques, les recherches menées à Mines Paris – PSL illustrent le pouvoir des outils mathématiques lorsqu’ils sont conjugués au calcul scientifique et à l’ingénierie. Les équations, loin d’être abstraites, peuvent contribuer très concrètement à relever les défis énergétiques contemporains.
