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Prédiction spatio-temporelle par équations différentielles partielles stochastiques

Spatio-temporal prediction by stochastic partial differential equations

Proposition de thèse

Spécialité

Géosciences et géoingénierie

Ecole doctorale

GRNE - Géosciences, Ressources Naturelles et Environnement

Directeur de thèse

ALLARD Denis

Co-directeur

ROMARY Thomas

Unité de recherche

Géosciences

ContactThomas ROMARY
Date de validité

01/10/2020

Site Web
Mots-clés

modélisation spatio-temporelle, statistique, équations aux dérivées partielles stochastiques, analyse numérique

spation temporal modeling, statistics, stochastic partiel differential equations , numerical analysis

Résumé

Dans un contexte de transition écologique il est crucial de disposer d'outils d'analyse et de prédiction de l'évolution des milieux naturels et des variables climatiques pour la prise de décision et la gestion des mesures d'atténuation ou d'adaptation. De nombreux domaines des sciences environnementales cherchent à prédire dans l'espace-temps une variable d'intérêt à partir d'observations en certains points d'un domaine d'étude (spatio-temporel) et de variables explicatives (appelées covariables) connues exhaustivement. Par ailleurs l'explosion informatique et les progrès technologiques des instruments de mesure nous ont fait passer de la gestion de la rareté des données à la gestion de leur abondance. Les méthodes numériques doivent être repensées pour traiter de façon efficace ces jeux de données de très grande taille.
Les statistiques spatio-temporelles se sont longtemps limitées à l'hypothèse d'une structure stationnaire dans l'espace-temps. Les enjeux de la thèse sont donc de tirer partie de la richesse des jeux de données actuels, ce qui permet de relaxer cette hypothèse de stationnarité et ainsi améliorer la qualité des prédictions des méthodes géostatistiques. Dans un cadre non-stationnaire, de nombreuses approches ont été développés pour modéliser ces variations spatiales de structure, cf. Fouedjio (2017) ou Schmidt (2020) pour une revue.
L'approche SPDE (Stochastic partial differential equations, Lindgren et al., 2011) permet d'incorporer facilement ces non-stationnarités en faisant varier dans l'espace et dans le temps les coefficients d'un opérateur différentiel. C'est sur cette approche SPDE que nous proposons de nous appuyer pour parvenir à des méthodes de prédiction spatio-temporelles efficaces dans un cadre non-stationnaire. Les travaux engagés dans l'équipe Géostatistique, dont certains en collaboration avec BioSP, sont en pointe dans le domaine.
Dans le cadre spatial, des avancées mathématiques et algorithmiques (Carrizo et al, 2018 ; Pereira & Desassis, 2018 ; Pereira & Desassis, 2019) majeures ont été accomplies, permettant de traiter de façon efficace des jeux de données de très grande taille. Par ailleurs la thèse de Ricardo Carrizo-Vergara (2018) a permis de définir de nouveaux modèles spatio- temporels dans ce cadre, incorporant les processus physiques liés aux phénomènes étudiés (convection, diffusion,...). Nous savons actuellement simuler ces modèles mais les problèmes liés à l'inférence et au conditionnement par les données observées restent entiers. L'objectif de ce projet de thèse est donc de proposer des méthodes efficaces pour l'inférence et la prédiction dans un cadre spatio-temporel, non
stationnaire, basé sur l'approche SPDE.
Ce type d'approche peut s'appliquer dans un grand nombre de domaines des géosciences, par exemple le climat, la prédiction de la qualité de l'air en milieu urbain ou celle de l'eau au sein des nappes phréatiques, la quantification de la ressource hydrique, le suivi de données de sol, notamment l'évolution des stocks de carbone organique dans le sol.

In a context of ecological transition, it is crucial to have tools for analyzing and predicting the evolution of natural environments and climatic variables for decision-making and the management of mitigation or adaptation measures. Many areas of environmental science seek to predict in space-time a variable of interest from observations at certain points in a field of study (spatio-temporal) and explanatory variables (called covariates) known exhaustively . In addition, the IT explosion and technological progress in measuring instruments have taken us from managing the scarcity of data to managing their abundance. Numerical methods need to be redesigned to efficiently process these very large datasets.
Spatio-temporal statistics have long been limited to the hypothesis of a stationary structure in space-time. The challenges of the thesis are therefore to take advantage of the richness of current data sets, which helps to relax this assumption of stationarity and thus improve the quality of the predictions of geostatistical methods. In a non-stationary framework, many approaches have been developed to model the spatial variations in structure, cf. Fouedjio (2017) or Schmidt (2020) for a review. The SPDE approach (Stochastic partial differential equations, Lindgren et al., 2011) allows these non-stationary factors to be easily incorporated by varying the coefficients of a differential operator in space and over time. It is on this SPDE approach that we propose to rely to arrive at effective spatio-temporal prediction methods in a non-stationary framework. The work undertaken in the Geostatistics team, some of which in collaboration with BioSP, is at the forefront in the field.
In the spatial framework, major mathematical and algorithmic advances (Carrizo et al, 2018; Pereira & Desassis, 2018; Pereira & Desassis, 2019) have been made, making it possible to efficiently process very large data sets. In addition, Ricardo Carrizo-Vergara's thesis (2018) made it possible to define new spatio-temporal models in this context, incorporating the physical processes linked to the studied phenomena (convection, diffusion, ...). We currently know how to simulate these models but the problems related to inference and conditioning by the observed data remain intact. The objective of this thesis project is therefore to propose efficient methods for inference and prediction in a spatio-temporal, non-stationary framework, based on the SPDE approach.
This type of approach can be applied in a large number of domains of the geosciences, for example the climate, the prediction of air quality in urban areas or that of groundwater, the quantification of water resources, monitoring of soil data, in particular the evolution of organic carbon stocks in the soil.

Contexte

.

Encadrement

Directeur de thèse : Romary Thomas, Centre de Géosciences, MINES ParisTech
Co-directeur* de thèse (HDR ou équivalent) : Allard, Denis, DR, BioSP, INRAE
Co-encadrant (non HDR) : Desassis, Nicolas, EC, Centre de Géosciences, MINES ParisTech

Profil candidat

De bonnes connaissances en probabilités, statistiques et analyse numérique sont requises, ainsi qu'un intérêt prononcé pour les applications en sciences de l'environnement. Un gout pour la programmation numérique est demandé, et notamment une bonne connaissance des langages C, R et/ou python. La
maîtrise de la langue anglaise est aussi nécessaire.
Une lettre de motivation, un descriptif des travaux de stage de Master 2, les résultats d'examen de Master 1 et 2, ainsi que deux lettres de recommandation ou deux référents constitueront les pièces à apporter au dossier de candidature.

Good knowledge of probability, statistics and numerical analysis is required, as well as a strong interest in applications in environmental sciences. A taste for digital programming is required, and in particular a good knowledge of C, R and / or Python languages. Fluency in English is also required.
A motivation letter, a description of the Master 2 internship work, the results of the Master 1 and 2 exams, as well as two letters of recommendation or two referees will constitute the documents to bring to the application.

Références

Carrizo-Vergara, R., Allard, D., & Desassis, N. (2018). A general framework for SPDE-based stationary random fields. arXiv preprint arXiv:1806.04999.
Carrizo-Vergara, R., (2018) Development of geostatistical models using stochastic partial differential equations, PhD thesis, December 2018. http://www.theses.fr/2018PSLEM062
Fouedjio, F. (2017) Second-order non-stationary modeling approaches for univariate geostatistical data. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, 31(8). 1887-1906.
Fuglstad G.A. , Lindgren F., Simpson D., and Rue H. (2015) Exploring a new class of non-stationary spatial gaussian random fields with varying local anisotropy. Statistica Sinica, 115-133.
Lindgren F., Rue H., Lindström J. (2011) An explicit link between Gaussian fields and Gaussian Markov random fields : the stochastic partial differential equation approach. Journal of the Royal Statistical Society : Series B, 73(4) :423-498
Pereira, M., Desassis, N. (2018). Finite element approximation of non-Markovian random fields. arXiv preprint arXiv:1811.03004.
Pereira, M., Desassis, N. (2019). Efficient simulation of Gaussian Markov random fields by Chebyshev polynomial approximation. Spatial Statistics, 31, 100359.
Mike Pereira. Champs aléatoires généralisés définis sur des variétés riemanniennes : théorie et pratique. PhD thesis, November 2019. http://www.theses.fr/s172855.
Schmidt, A. M., & Guttorp, P. (2020). Flexible spatial covariance functions. Spatial Statistics, https://doi.org/10.1016/j.spasta.2020.100416.

Type financement

Financement d'un Etablissement d'enseignement supérieur

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